Anexo 2 Taxa de depreciação do estoque de capital equivalente a um tempo de depreciação linear N.

A taxa de depreciação é definida como a fração do montante do estoque no ano n que é depreciada no ano seguinte. A taxa equivalente de depreciação seria aquela que reproduz a depreciação resultante de um conjunto de investimentos em N anos depreciados linearmente.

Figura A2.1: No primeiro gráfico, valores de um investimento de 100 unidades com um tempo de vida (v) de 10 anos e, no segundo, valores do investimento e do estoque sobrevivente conforme a idade dos bens e o estoque total.

Para exemplificar, tomemos um investimento anual constante I de 100 unidades, depreciado linearmente ao longo de 10 anos como mostrado na Figura A2.1. O estoque se estabilizaria em 550 unidades e a depreciação de equilíbrio seria de 100/550=18,2%. Na composição do estoque, haveria 10 unidades correspondente a t anos atrás (10/10=100% depreciadas), 20 unidades do ano t-1 atrás, depreciadas em 10/20=50%, e assim por diante. Finalmente, o estoque do ano anterior seria de 100 unidades e ainda não teria sido depreciado.

Neste exemplo, o estoque seria a soma da projeção aritmética (10+20+ 30+ ..........+100) com t=10 termos e seria igual a 550. No caso genérico, para t anos de vida e investimento constante I teríamos uma progressão aritmética cujo passo[1] seria I/t e o estoque K seria

K=I/t.(1+2+.....t)=I/t*(t.(t+1)/2)=I.(t+1)/2

a depreciação no equilíbrio seria igual ao investimento (D=I) e a taxa de depreciação seria:

Como veremos, assim como não existe estado estacionário quando o investimento varia ao longo do tempo, também não existe uma taxa equivalente exata . A taxa a ser considerada passa a depender do histórico dos investimentos.

O estoque K de capital em um ano t será obtido a partir do investimento do ano anterior It-1 e da depreciação para o ano t ().

(1)

Estamos supondo que o investimento seja incorporado ao estoque no ano seguinte ao de sua efetivação e que a função de depreciação seja linear. Em conseqüência, a depreciação é igual à média do investimento nos anos anteriores ao do investimento. Desta maneira teremos para o ano t

(2)

Isto porque estamos supondo que o investimento realizado no ano t-2 torna-se produtivo (passa a incorporar o estoque)no ano seguinte t-1 e começa a ser depreciado no ano t.

Por simplicidade, tomemos o investimento realizado a partir do ano zero.

É bom lembrar que o estoque anterior ao ano zero, pela função adotada, estará extinto no ano v+1. Isto significa que o estoque do ano zero estará totalmente depreciado em v+1. Ou seja, a soma das entradas (investimentos) subtraída da soma das saídas (depreciação) dos investimentos, a partir do ano zero, é que formará o estoque no ano v+1.

A Tabela A2.1 mostra os investimentos, depreciação e estoque provenientes dos investimentos e depreciações no período.

Como hipótese de variação do investimento, consideraremos que ele cresce a uma taxa anual j.

Ou seja:

(3)

onde

O quadro abaixo mostra a evolução do cálculo do investimento, da depreciação e do estoque ao longo do tempo, segundo as equações (1), (2) e (3).

ano	Investimento	Depreciação de investimentos no período	Estoque de capital acumulado devido a investimentos no período
0		0	0
1
2
3
.......
v
v+1	como temos	Como só os v últimos anos influem na depreciação
v+m

Segundo o quadro acima, dividindo a depreciação pelo estoque, chegamos à taxa de depreciação , para um ano qualquer, onde , a qual é equivalente a uma depreciação linear durante v anos, considerando uma taxa anual de crescimento do investimento, j. A taxa de depreciação equivalente é dada portanto por:

ou seja, é constante no tempo para valores fixos de v (tempo de vida) e c (relacionada à taxa de crescimento j do investimento)

Na Tabela A2.2, mostramos as taxas de depreciação equivalentes para diferentes vidas e diferentes taxas de crescimento do investimento anual.

Vida / Crescimento do Investimento	0%	1%	2%	3%	4%	7%
10 anos	18,18%	17,91%	17,66%	17,41%	17,17%	16,52%
19 anos	10,00%	9,71%	9,44%	9,19%	8,96%	8,35%
20 anos	9,52%	9,23%	8,96%	8,71%	8,48%	7,88%
40 anos	4,88%	4,58%	4,33%	4,11%	3,92%	3,50%
48 anos	4,08%	3,79%	3,54%	3,33%	3,16%	2,80%
50 anos	3,92%	3,63%	3,38%	3,18%	3,01%	2,67%

Nas aplicações deste trabalho, foram consideradas as taxas “equivalentes” encontradas na Tabela A2.3, onde, também, se indica o tempo de vida e as taxas de crescimento do investimento por tipo de bem no período em que se tem dados disponíveis (1901/2000 para construções e 1908/2000 para máquinas e equipamentos). Consideramos as taxas de crescimento dos investimentos, obtidas a partir de ajuste exponencial nos dados fornecidos por IBGE (2003).

Tabela A2.3

	Construção Residencial	Construção não Residencial	Máquinas e Equipamentos
Vida	50	40	20
Crescimento anual do Investimento	6,6%	6,3%	5,3%
Taxa “equivalente” de depreciação	2,7%	3,6%	8,2%

A Figura A2.2 mostra as taxas de depreciação, obtidas usando-se a função linear e a expressão acima para a taxa “equivalente” .

Figura A2.2: Taxas de Depreciação Equivalentes e Taxa de depreciação Variando de Acordo com a Idade do Estoque de Capital (Método do Estoque Permanente), para os diversos tipos de bens e para o agregado (total) .

[1]Passo é o acréscimo entre um elemento e o seguinte de uma projeção aritimética.

Graphic Edition/Edição Gráfica:
MAK
Editoração Eletrônica

Revised/Revisado:
Sunday, 28 August 2005.

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